Note publique d'information : Cette thèse comporte trois parties indépendantes. La première est consacrée à l’étude
des solutions globales d’équations non linéaires dissipatives de type hyperbolique.
On s’intéresse tout d’abord au cas autonome, pour lequel on montre, par une méthode
topologique originale, l’existence de solutions exceptionnelles, qui sont globales
sur toute la droite réelle tout en étant non bornées. Nous donnons ensuite des résultats
de stabilité pour l'équation d’évolution générale. Ceux-ci sont valables par exemple
dans le cas de l’équation des ondes dans un domaine borné, où la dissipation est une
puissance de la vélocité. On sait déjà que la différence de deux solutions décroît
comme une constante que multiplie une puissance négative du temps. Nous établissons
des estimations précises sur la constante, qui dépend des énergies initiales comme
une puissance supérieure à 1. Dans le cas de l’équation différentielle ordinaire périodique,
nous montrons que la stabilité est en fait exponentielle en temps et nous précisons
également le comportement des constantes. Nous prouvons enfin l’optimalité des constantes
obtenues, en utilisant l’existence de solutions globales sur toute la droite réelle.
Dans la deuxième partie, nous étudions l’unicité des solutions antipériodiques pour
des équations d’évolutions abstraites du second plan. Dans un premier temps, nous
montrons qu’il y a unicité des solutions antipériodiques, lorsque la non-linéarité
est assez petite. On donne différentes applications de ce résultat pour des systèmes
différentiels et pour des équations d’ondes dans des domaines bornés, où nous explicitons
des conditions suffisantes précises d’unicité. Nous montrons que ce résultat est spécifique
au cadre antipériodique et qu’il ne peut pas s’étendre au cas général des solutions
périodiques. Dans un deuxième temps, nous montrons que l’unicité des solutions antipériodiques
n’est pas vraie en général sans hypothèse sur la taille de la non-linéarité. Nous
construisons à cet effet des contre exemples très réguliers pour une équation des
ondes et pour une équation différentielle ordinaire avec non-linéarité cubique, résolvant
ainsi un problème ouvert depuis 1989. Dans la troisième partie, nous montrons d’abord
le caractère non global des solutions pour une classe d'inégalités différentielles.
En appliquant ensuite ce résultat et la méthode de convexité, nous obtenons l’explosion
en temps fini des solutions de données initiales positives, pour des équations d’ondes
où le terme de source est en compétition avec un terme de dissipation. Une autre application
concerne une équation de la chaleur avec un terme de mémoire de type intégral. Les
résultats sur l’équation des ondes sont complémentaires de ceux obtenus récemment
par Georgiev et Todorova (1992), en utilisant la méthode d’énergie.
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