Note publique d'information : Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de quelques modèles de trafic routier
congestionné. La notion essentielle est l'équilibre de Wardrop. Elle poursuit des
travaux de Carlier et Santambrogio avec des coauteurs. Baillon et Carlier ont étudié
le cas de grilles cartésiennes dans ℝ² de plus en plus denses, dans le cadre de la
théorie de Γ-convergence. Trouver l'équilibre de Wardrop revient à résoudre des problèmes
de minimisation convexe. Dans le chapitre 2, nous regardons ce qui se passe dans le
cas de réseaux généraux, de plus en plus denses, dans ℝ^d. Des difficultés nouvelles
surgissent par rapport au cas initial de réseaux cartésiens et pour les contourner,
nous introduisons la notion de courbes généralisées. Des hypothèses structurelles
sur ces suites de réseaux discrets sont nécessaires pour s'assurer de la convergence.
Cela fait alors apparaître des fonctions qui sont des sortes de distances de Finsler
et qui rendent compte de l'anisotropie du réseau. Nous obtenons ainsi des résultats
similaires à ceux du cas cartésien. Dans le chapitre 3, nous étudions le modèle continu
et en particulier, les problèmes limites. Nous trouvons alors des conditions d'optimalité
à travers une formulation duale qui peut être interprétée en termes d'équilibres continus
de Wardrop. Cependant, nous travaillons avec des courbes généralisées et nous ne pouvons
pas appliquer directement le théorème de Prokhorov, comme cela a été le cas dans [Baillon
et Carlier]. Pour pouvoir néanmoins l'utiliser, nous considérons une version relaxée
du problème limite, avec des mesures d'Young. Dans le chapitre 4, nous nous concentrons
sur le cas de long terme, c'est-à-dire, nous fixons uniquement les distributions d'offre
et de demande. Comme montré dans [Brasco], le problème de l'équilibre de Wardrop est
équivalent à un problème à la Beckmann et il se réduit à résoudre une EDP elliptique,
anisotropique et dégénérée. Nous utilisons la méthode de résolution numérique de Lagrangien
augmenté présentée dans [Benamou] pour proposer des exemples de simulation. Enfin,
le chapitre 5 a pour objet l'étude de problèmes de Monge avec comme coût une distance
de Finsler. Cela se reformule en des problèmes de flux minimal et une discrétisation
de ces problèmes mène à un problème de point-selle. Nous le résolvons alors numériquement,
encore grâce à un algorithme de Lagrangien augmenté.
Note publique d'information : This thesis is devoted to the mathematical analysis of some models of congested road
traffic. The essential notion is the Wardrop equilibrium. It continues Carlier and
Santambrogio's works with coauthors. With Baillon they studied the case of two-dimensional
cartesian networks that become very dense in the framework of Γ-convergence theory.
Finding Wardrop equilibria is equivalent to solve convex minimisation problems. In
Chapter 2 we look at what happens in the case of general networks, increasingly dense.
New difficulties appear with respect to the original case of cartesian networks. To
deal with these difficulties we introduce the concept of generalized curves. Structural
assumptions on these sequences of discrete networks are necessary to obtain convergence.
Sorts of Finsler distance are used and keep track of anisotropy of the network. We
then have similar results to those in the cartesian case. In Chapter 3 we study the
continuous model and in particular the limit problems. Then we find optimality conditions
through a duale formulation that can be interpreted in terms of continuous Wardrop
equilibria. However we work with generalized curves and we cannot directly apply Prokhorov's
theorem, as in [Baillon and Carlier]. To use it we consider a relaxed version of the
limit problem with Young's measures. In Chapter 4 we focus on the long-term case,
that is, we fix only the distributions of supply and demand. As shown in [Brasco]
the problem of Wardrop equilibria can be reformulated in a problem à la Beckmann and
reduced to solve an elliptic anisotropic and degenerated PDE. We use the augmented
Lagrangian scheme presented in [Benamou] to show a few numerical simulation examples.
Finally Chapter 5 is devoted to studying Monge problems with as cost a Finsler distance.
It leads to minimal flow problems. Discretization of these problems is equivalent
to a saddle-point problem. We then solve it numerically again by an augmented Lagrangian
algorithm.