Note publique d'information : La physique des très hautes énergies nécessite une description cohérente des quatre
forces fondamentales. La géométrie non commutative représente un cadre mathématique
prometteur qui a déjà permis d'unifier la relativité générale et le modèle standard,
au niveau classique, grâce au principe de l'action spectrale. L'étude des théories
quantiques de champs sur des espaces non commutatifs est une première étape vers la
quantification de ce modèle. Celles-ci ne sont pas simplement obtenues en récrivant
les théories commutatives sur des espaces non commutatifs. En effet, ces tentatives
ont révélé un nouveau type de divergences, appelé mélange ultraviolet/infrarouge,
qui rend ces modèles non renormalisables. H. Grosse et R. Wulkenhaar ont montré, sur
un exemple, qu'une modification du propagateur restaure la renormalisabilité. L'étude
de la généralisation de cette méthode est le cadre de cette thèse. Nous avons ainsi
étudié deux modèles sur espace de Moyal qui ont permis de préciser certains aspects
des théories non commutatives. En espace x, la principale difficulté technique est
due aux oscillations de l'interaction. Nous avons donc généralisé les résultats de
T. Filk afin d'exploiter au mieux ces oscillations. Nous avons pu ainsi distinguer
deux types de mélange, renormalisable ou pas. Nous avons aussi mis en lumière la notion
d'orientabilité : le modèle de Gross-Neveu non commutatif orientable est renormalisable
sans modification du propagateur. L'adaptation de l'analyse multi-échelles à la base
matricielle a souligné l'importance du graphe dual et représente un premier pas vers
une formulation des théories de champs indépendante de l'espace sous-jacent.
Note publique d'information : Very high energy physics needs a coherent description of the four fundamental forces.
Non-commutative geometry is a promising mathematical framework which already allowed
to unify the general relativity and the standard model, at the classical level, thanks
to the spectral action principle. Quantum field theories on non-commutative spaces
are a first step towards the quantification of such a model. These theories can't
be obtained simply by writing usual field theory on non-commutative spaces. Such attempts
exhibit indeed a new type of divergencies, called ultraviolet/infrared mixing, which
prevents renormalizability. H. Grosse and R. Wulkenhaar showed, with an example, that
a modification of the propagator may restore renormalizability. This thesis aims at
studying the generalization of such a method. We studied two different models which
allowed to specify certain aspects of non-commutative field theory. In x space, the
major technical difficulty is due to oscillations in the interaction part. We generalized
the results of T. Filk in order to exploit such oscillations at best. We were then
able to distinguish between two mixings, renormalizable or not. We also bring the
notion of orientability to light : the orientable non-commutative Gross-Neveu model
is renormalizable without any modification of its propagator. The adaptation of multi-scale
analysis to the matrix basis emphasized the importance of dual graphs and represents
a first step towards a formulation of field theory independent of the underlying space.
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