Note publique d'information : Dans cette thèse, on considère une chaîne de Markov (Xi) à espace d'états continu
que l'on suppose récurrente positive et stationnaire. L'objectif est d'estimer la
densité de transition II définie par II(x,y)dy = P(Xi+1 E dy\Xi = x). On utilise la
sélection de modèles pour construire des estimateurs adaptatifs. On se place dans
le cadre minimax sur L2 et l'on s'intéresse aux vitesses de convergence obtenues lorsque
la densité de transition est supposée régulière. Le risque intégré de nos estimateurs
est majoré grâce au contrôle de processus empiriques par une inégalité de concentration
de Talagrand. Dans une première partie, on suppose que la chaîne est directement observée.
Deux estimateurs différents sont présentés, l'un par quotient, l'autre minimisant
un contraste moindres carrés et prenant également en compte l'anisotropie du problème.
Dans une deuxième partie, on aborde le cas d'observations bruitées YI, ... ,Yn+1 où
Yi = Xi + ei avec (ei) un bruit indépendant de la chaîne (Xi). On généralise à ce
cas les deux estimateurs précédents. Des simulations illustrent les performances des
estimateurs.
Note publique d'information : In this thesis, we consider a Markov chain (Xi) with continuous state space which
is assumed positive recurrent and stationary. The aim is to estimate the transition
density II defined by II(X,y)dy = P(Xi+1 E dy\Xi = x). We use model selection to construct
adaptive estimators. We work in the minimax framework on L2 and we are interested
in the rates of convergence obtained when transition density is supposed to be regular.
The integrated risk of our estimators is bounded thanks to control of empirical processes
by a concentration inequality of Talagrand. In a first part, we suppose that the chain
is directly observed. Two different estimators are introduced, one by quotient, the
other minimizing a least squares contrast and also taking into account the anisotropy
of the problem. In a second part, we treat the case of noisy observations Y1, ...,
Yn+i where Yi = Xi + ei with (Ei) a noise independent of the chain (Xi). We generalize
to this case i the two previous estimators. Some simulations illustrate the performances
of the estimators.
paprika.idref.fr
data.idref.fr
Documentation
