Note publique d'information : Cette thèse présente quelques contributions à l'étude qualitative de solutions d'équations
aux dérivées partielles non linéaires dans des modèles issus de l'optique et de la
mécanique des fluides. Nous nous intéressons plus précisément à l'existence de solutions
et à leur stabilité temporelle. Le Chapitre 1 est consacré à l'équation de Lugiato-Lefever,
qui est une variante de l'équation de Schrödinger non linéaire et qui a été dérivée
dans plusieurs contextes en optique. En utilisant des outils de la théorie des bifurcations
et des formes normales, nous procédons à une étude systématique des solutions stationnaires
de cette équation, et prouvons l'existence de solutions périodiques et localisées.
Dans le Chapitre 2, nous présentons un critère simple d'instabilité linéaire pour
des ondes non linéaires. Nous appliquons ce résultat aux équations de Lugiato-Lefever,
de Kadomtsev-Petviashvili-I et de Davey-Stewartson. Ces deux dernières équations sont
des équations modèles dérivées en mécanique des fluides. Dans le Chapitre 3, nous
montrons un critère d'instabilité linéaire pour des solutions périodiques de petite
amplitude, par rapport à certaines perturbations quasipériodiques. Ce résultat est
ensuite appliqué à l'équation de Lugiato-Lefever.
Note publique d'information : In this thesis we present several contributions to qualitative study of solutions
of nonlinear partial differential equations in optics and fluid mechanics models.
More precisely, we focus on the existence of solutions and their stability properties.
In Chapter 1, we study the Lugiato-lefever equation, which is a variant of the nonlinear
Schrödinger equation arising in sereval contexts in nonlinear optics. Using tools
from bifurcation and normal forms theory, we perfom a systematic analysis of stationary
solutions of this equation and prove the existence of periodic and localized solutions.
In Chapter 2, we present a simple criterion for linear instability of nonlinear waves.
We then apply this result to the Lugiato-Lefever equation, to the Kadomtsev-Petviashvili-I
equation and the Davey-Stewartson equations. These last two equations are model equations
arising in fluid mechanics. In Chapter 3, we prove a criterion for linear instability
of periodic solutions with small amplitude, with respect to certain quasiperiodic
perturbations. This result is then applied to the Lugiato-Lefever equation.
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