Note publique d'information : Cette thèse porte sur la construction d'une famille de groupoïdes quantiques de transformations
qui dans le cadre algébrique sont des algébroïdes de Hopf de multiplicateurs mesurés
au sens de Timmermann et Van Daele et qui dans le cadre des algèbres d'opérateurs
sont des C*-bimodules de Hopf sur une C*-base au sens de Timmermann.Dans le contexte
purement algébrique, nous définissons d'abord une algèbre involutive de Yetter-Drinfeld
tressée commutative sur un groupe quantique algébrique au sens de Van Daele et une
intégrale de Yetter-Drinfeld sur elle. En utilisant ces objets nous construisons après
un algébroide de Hopf de multiplicateurs involutif mesuré, ce nouvel objet nous l'appellons
groupoïde quantique algébrique de transformations.Pour être capables de passer au
cadre des algèbres d'opérateurs, nous donnons des conditions sur l'intégral de Yetter-Drinfeld
qui vont nous permettre d'utiliser la construction Gelfand–Naimark–Segal pour étendre
tous nos objets purement algébriques en des objets C*-algébriques. Dans ce contexte,
notre construction se fait d'une manière similaire à celle présentée dans le travail
de Enock et Timmermann, nous obtenons un nouvel objet mathématique que nous appellons
un groupoïde quantique C*-algébrique de transformations, qui est définit en utilisant
le langage des C*-bimodules de Hopf sur une C*-base.
Note publique d'information : This thesis is concerned with the construction of a family of quantum transformation
groupoids in the algebraic framework in the form of the measured multiplier Hopf *-algebroids
in the sense of Timmermann and Van Daele and also in the context of operator algebras
in the form of Hopf C*-bimodules on a C*-base in the sense of Timmermann.In the purely
algebraic context, we first give a definition of a braided commutative Yetter-Drinfeld
*-algebra over an algebraic quantum group in the sense of Van Daele and a Yetter-Drinfeld
integral on it. Then, using these objects we construct a measured multiplier Hopf
*-algebroid, we call to this new object an algebraic quantum transformation groupoid.In
order to pass to the operator algebra framework, we give some conditions on the Yetter-Drinfeld
integral inspired by the properties of KMS-weights on C*-algebras which will allow
us to use the Gelfand–Naimark–Segal construction to extend all the purely algebraic
objects to the C*-algebraic level. At this level, we construct in a similar way to
that used in the work of Enock and Timmermann, a new mathematical object that we call
a C*-algebraic quantum transformation groupoid, which is defined using the language
of Hopf C*-bimodules on C*-bases.
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