Note publique d'information : Le sujet de cette thèse est a l'interface de la théorie des nombres et de la géométrie
arithmétique. Le travail de recherche propose dans cette thèse est dans le domaine
de la théorie arithmétique des corps de fonctions. Soient Fq un corps fini ayant q
éléments et T une indéterminée sur Fq. Soit C le module de Carlitz qui est un morphisme
de Fq-algèbres de Fq[T] dans les endomorphismes Fq linéaires du groupe additif donne
par C(T) = TX +Xq. L' arithmétique des corps engendres sur Fq(T) par les points de
torsions de C est un sujet central de la théorie arithmétique des corps de fonctions
. Depuis ces dix dernières années, la théorie a connu un essor considérable suite
aux travaux de G. Anderson, D. Goss, M. Pappanikolas, L. Taelman, D. Thakur.L' objectif
de cette thèse est, a la lumière des travaux récents, l' étude arithmétique du module
de unités d 'Anderson-Taelman pour Fq[T]. Soit P un irréductible unitaire de Fq[T].
Nous montrons qu'il existe un lien entre le comportement P-adique du module des unités
et la divisibilité par P d'une valeur spéciale de la fonction zêta de Carlitz-Goss.
Dans cette thèse nous donnons une interprétation arithmético/géométrique de cette
congruence en la reliant a l'arithmétique de la jacobienne du P-ieme corps de fonctions
cyclotomique.
Note publique d'information : The subject of this thesis is at the interface of number theory and algebraic geometry.
The research work done in this thesis is in the arithmetic of function fields. Let
Fq be a finite field having q elements and let T be an indetrminate over Fq: Let
C be the Carlitz module which is a morphism of Fq-algebras from Fq[T] into the Fq-endomorphisms
of the additive group given by C(T) = TX + Xq. The arithmetic of the fields generated
over Fq(T) by the torsion points of C is a central subject in the arithmetic of function
Fields.Since the last ten years, the theory has grown rapidly due to the important
works of G. Anderson, D. Goss, M. Pappanikolas, L. Taelman , D. Thakur.The objective
of this thesis is the arthmetic study of the module of units of Anderson-Taelman for
Fq[T].Let P be a prime of Fq[T].We show that there exists a link between the P-adic
behaviour of the module of units and the divisibility by P of a special value of the
zeta function of Carlitz-Goss.In this thesis we give an geometric interpretation of
this latter congruence in terms of the arithmetic of the jacobian of the Pth cyclotomic
function field.
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