Note publique d'information : LES APPLICATIONS GALOISIENNES ENTRE DEUX ENSEMBLES ORDONNES SONT CELLES QUI ENTRENT
DANS LES CORRESPONDANCES DE GALOIS. LES APPLICATIONS A SEUILS, QUI SONT, SOUS DES
CONDITIONS BIEN GENERALES, DES RESTRICTIONS DES PRECEDENTES, CONSTITUENT UNE CLASSE
D'APPLICATIONS ENTRE ENSEMBLES ORDONNES PERMETTANT DE MODELISER DES DISSIMILARITES
ET D'AUTRES TYPES VARIES D'OBJETS VALUES. LE PROPOS DE CETTE THESE EST DE FAIRE L'ETUDE
DE CES DERNIERES APPLICATIONS ET DES ENSEMBLES D'APPLICATIONS DE CETTE NATURE. NOUS
DEFINISSONS LES APPLICATIONS A SEUILS, DONNONS LEURS PRINCIPALES PROPRIETES ET ETABLISSONS
LE LIEN QUI EXISTE ENTRE ELLES ET LES CORRESPONDANCES DE GALOIS. LORSQUE LES ENSEMBLES
ORDONNES P ET Q CONSIDERES SONT DES TREILLIS COMPLETS ET G UNE PARTIE SUP-GENERATRICE
DE P , L'ENSEMBLE S(G,Q) DES APPLICATIONS A SEUILS EST AUSSI UN TREILLIS COMPLET.
NOUS NOUS INTERESSONS PARTICULIEREMENT A L'ETUDE DES ELEMENTS IRREDUCTIBLES DU TREILLIS
(FINI) S(JP,Q) LORSQUE P ET Q SONT DES TREILLIS FINIS ET JP L'ENSEMBLE DES SUP-IRREDUCTIBLES
DE P. NOUS CONSIDERONS D'ABORD LE TREILLIS DES APPLICATIONS ANTITONES DE JP DANS Q,
DONT NOUS CARACTERISONS LES ELEMENTS SUP-IRREDUCTIBLES ET INF- IRREDUCTIBLES. NOUS
DETERMINONS LES ELEMENTS SUP-IRREDUCTIBLES DE S(JP, Q) ET CONSTATONS QU'ILS SONT IDENTIQUES
A CEUX DE L'ENSEMBLE DES APPLICATIONS ANTITONES. ENFIN NOUS EXPLICITONS UNE CLASSE
D'INF-IRREDUCTIBLES DE S(JP, Q), COMPRENANT TOUS CEUX DONT L'IMAGE EST DE CARDINAL
AU PLUS DEUX. NOUS MONTRONS QU'IL PEUT EN EXISTER D'AUTRES, SAUF LORSQUE L'UN DES
DEUX TREILLIS P OU Q EST DISTRIBUTIF.
Note publique d'information : GALOIS MAPPINGS BETWEEN TWO ORDERED SETS ARE THOSE WHICH BELONG TO GALOIS CONNECTIONS.
UNDER FAIRLY GENERAL ASSUMPTIONS, THRESHOLD MAPPINGS ARE RESTRICTIONS OF GALOIS ONES.
THEY CONSTITUTE A CLASS OF MAPPINGS USEFUL FOR THE MODELIZATION OF DISSIMILARITIES
AND OTHER TYPES OF VALUED OBJECTS. THE PURPOSE OF THIS THESIS IS THE STUDY OF THRESHOLD
MAPPINGS AND ORDERED SETS OF THRESHOLD MAPPINGS. AFTER DEFINING THRESHOLD MAPPINGS,
WE GIVE THEIR MAIN PROPERTIES AND ESTABLISH THEIR STRONG RELATION WITH GALOIS CONNECTIONS.
IF BOTH CONSIDERED ORDERED SETS P AND Q ARE COMPLETE LATTICES, AND G IS A JOIN-GENERATING
SUBSET OF P, THEN, THE SET S(G,Q) OF THRESHOLD MAPPINGS IS STILL A COMPLETE LATTICE.
WE ARE PARTICULARLY CONCERNED WITH THE STUDY OF IRREDUCIBLE ELEMENTS OF THE (FINITE)
LATTICE S(JP,Q) WHEN BOTH LATTICES P AND Q ARE FINITE AND JP IS THE SET OF JOIN-IRREDUCIBLE
ELEMENTS OF P. WE FIRSTLY CONSIDER THE LATTICE OF ANTITONE MAPPINGS FROM JP TO Q,
AND CHARACTERIZE THEIR JOIN- AND MEET- IRREDUCIBLE ELEMENTS. WE DETERMINE THE JOIN-IRREDUCIBLE
ELEMENTS OF S(JP, Q) AND OBSERVE THAT THEY ARE IDENTICAL TO THOSE OF THE SET OF ANTITONE
MAPPINGS. FINALLY, WE DETERMINE A CLASS OF MEET-IRREDUCIBLE ELEMENTS OF S(JP, Q),
INCLUDING ALL THOSE THE IMAGE OF WHICH HAS CARDINALITY AT MOST TWO. WE SHOW THAT OTHER
MEET-IRREDUCIBLE ELEMENTS MAY EXIST, EXCEPT WHEN ONE OF THE LATTICES P OR Q IS DISTRIBUTIVE.
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