Note publique d'information : Cette thèse consiste à comprendre le problème de Dirichlet à l'infini d'une variété
Einstein asymptotiquement hyperbolique, c'est-à-dire explorer le lien entre une métrique
d'Einstein asymptotiquement hyperbolique et la donnée de la classe conforme de la
métrique au bord conforme. Le résultat principal de cette thèse consiste à chercher
la régularité d'une métrique d'Einstein asymptotiquement hyperbolique, étant donné
une régularité explicite de la classe conforme à l'infini. D'autres résultats sont
sur des invariants conformes, ainsi qu'une étude poussée d'une famille explicite de
métriques d'Einstein asymptotiquement hyperboliques sur la boule de dimension 4. Après
un rappel du cadre dans lequel on se place, on s'intéresse à trois invariants conformes
de la théorie, l'invariant de Yamabe de l'infini conforme, l'invariant de Yamabe-Escobar,
et le volume renormalisé développé par Graham. Motivé par un résultat de Lee, Han-Gursky
et Chen-Lai-Wang, annoncent que pour une métrique asymptotiquement hyperbolique Einstein,
si l'invariant de Yamabe de l'infinie conforme est positif, alors il en est de même
pour les invariants de Yamabe-Escobar de la compactification. Dans cette thèse, on
s'intéresse à l'inverse. En ajoutant la condition de positivité du volume renormalisé,
on montre qu'en dimension 4 la positivité de l'invariant de Yamabe-Escobar implique
la positivité de l'invariant de Yamabe de l'infini conforme. Pour cela, on utilise
un résultat dû à Anderson qui énonce qu'en dimension 4, le volume renormalisé est
relié à l'invariant topologique-le charactéristique d'Euler à travers de la formule
de Gauss-Bonnet-Chern. Ensuite, on étudie le problème de la régularité. Pour une métrique
asymptotiquement hyperbolique Einstein, est-ce que la régularité de l'infini conforme
entraine celle de sa compactification? D'abord on étudie la régularité du tenseur
de Weyl. Et puis à l'aide tenseur de Bach, on obtient la régularité de la courbure
de Ricci Ceci permet d'obtenir la régularité de la métrique. On se rappelle que le
tenseur de Weyl est invariant conforme local. En utilisant l'équation de Bochner satisfaite
par le tenseur de Weyl pour une métrique d'Einstein, on se ramène à étudier un opérateur
elliptique sur les sections d'un fibré de tenseurs (3,1). Cette étude s'inscrit dans
un cadre plus général des opérateurs elliptiques géométriques sur les fibrés géométriques
à poids développés par Lee. A l'aide des espaces de Hölder à poids, on trouve des
estimations à priori pour ces opérateurs. En construisant une solution approchée régulière
pour le tenseur de Weyl par des condition au bord, on démontre le théorème de régularité
sur la métrique compactifiée. Pedersen définit une famille à un paramètre de métriques
d'Einstein asymptotiquement hyperboliques sur la boule de dimension 4 ayant comme
l'infini conforme-- les sphères de Berger. Dans la thèse, on étudie le signe de l'invariant
de Yamabe du bord, le signe de celui de Yamabe-Escobar et du volume renormalisé pour
ces métriques. Une étude des signes relatifs de ces divers invariants en fonction
du paramètre a été motivée à la recherche de la réciproque partielle de la première
section. En fait, la conjecture initiale était de montrer que la positivité du volume
renormalisé suffit à prouver la positivité de l'invariant de Yamabe de l'infini conforme.
Note publique d'information : This thesis aims to study the Dirichlet problem for asymptotically hyperbolic Einstein
manifolds. We will look after links between the asymptotically hyperbolic Einstein
metric and its conformal class on the infinity. The main result of this thesis is
regularity result for asymptotically hyperbolic Einstein metric (for short AHE) :
given an explicit regularity of a metric in the conformal class at infinity, we try
to prove the regularity of compactified metric of AHE, we study also some conformal
invariants, as well as an extended study of an explicit family of AHE metrics. After
a reminder of the framework, we focus on three conformal invariants: the Yamabe invariant
on the conformal infinity; the Yamabe-Escobar invariants; and the renormalized volume
developed by Graham. With the help of a well known result due to Lee, Han-Gursky and
Chen-Lai-Wang, state for an AHE metric, if the Yamabe invariant of the conformal infinity
is positive, then so are the Yamabe-Escobar invariants. In this thesis, we study the
reciprocal property. By adding the positivity condition of the renormalized volume,
we obtain in dimension 4 that the positivity of the Yamabe-Escobar invariant implies
the positivity of the Yamabe invariant of the conformal infinity. For this we use
a result due to Anderson, which states that in dimension 4 the renormalized volume
is related to the topological invariant--Euler characteristic, by the Gauss-Bonnet-Chern's
formula We then the regularity problem. A natural question is how can we improve the
regularity of a compactified metric for AHE metric, once we know an explicit bound
on the regularity of the boundary metric. For this purpose, we study first the regularity
of the Weyl tensor. Then, we obtain the regularity of the Ricci curvature by using
the Bach flat condition. At the end, we imply the regularity of the metric. To study
the regularity of the Weyl tensor of the compacted metric, we use the Bochner equation
satisfied by Einstein metric. Hence, we study an elliptic operator on the sections
of a (3,1)-tensor bundle. This study is included in the general framework of geometric
elliptic operators on weighted geometric bundle developed by Lee. We obtain, in weighted
Hölder spaces,the suitable the estimates a priori for these operators. Then by constructing
a smooth approximated metric, we manage to prove a regularity theorem on the compacted
metric. Pedersen defines a one-parameter family of AHE metrics on the ball of dimension
4 having as conformal infinity the Berger spheres. We compute in the thesis the sign
of the Yamabe invariant of the boundary, the sign of the Yamabe-Escobar invariant
and the renormalized volume for this family. A study of the relative signs of these
various invariants as a function of the parameter was motivated by the study of the
reciprocal in the first part. A natural conjecture is to show that the positivity
of the renormalized volume suffices to prove the positivity of the Yamabe invariant
of the conformal infinity.
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