Identifiant pérenne de la notice : 242307345
Notice de type
Notice de regroupement
Note publique d'information : Nous construisons, pour les corps quadratiques imaginaires avec nombre de classes
1, un site arithmétique de type Connes-Consani. La principale difficulté ici est que
les constructions de Connes et Consani et une partie de leurs résultats reposent sur
la relation d'ordre naturellement présente sur les nombres réels qui est compatible
avec les opérations arithmétiques basiques. Bien sûr rien de la sorte n'existe pas
dans le cas des corps quadratiques imaginaires avec nombre de classes 1. Nous définissons
ce que nous appelons le site arithmétique pour de tels corps de nombres, puis nous
calculons les points de ces sites arithmétiques et nous les exprimons en termes de
l'espace des classes d'adèles considéré par Connes pour donner une interprétation
spectrale des zéros des fonctions L de Hecke. On obtient alors que pour un corps quadratique
imaginaire avec nombre de classes 1, les points de notre site arithmétique sont reliés
aux zéros de la fonction zêta de Dedekind du corps de nombres considéré et aux zéros
de certaines fonctions L de Hecke. Nous étudions ensuite la relation entre le spectre
de l'anneau des entiers du corps de nombres et le site arithmétique. Enfin nous construisons
le carré du site arithmétique.
Note publique d'information : We construct, for imaginary quadratic number fields with class number 1, an arithmetic
site of Connes-Consani type. The main difficulty here is that the constructions of
Connes and Consani and part of their results strongly rely on the natural order existing
on real numbers which is compatible with basic arithmetic operations. Of course nothing
of this sort exists in the case of imaginary quadratic number fields with class number
1. We first define what we call arithmetic site for such number fields, we then calculate
the points of those arithmetic sites and we express them in terms of the ad\`eles
class space considered by Connes to give a spectral interpretation of zeroes of Hecke
L functions of number fields. We get therefore that for a fixed imaginary quadratic
number field with class number 1, that the points of our arithmetic site are related
to the zeroes of the Dedekind zeta function of the number field considered and to
the zeroes of some Hecke L functions. We then study the relation between the spectrum
of the ring of integers of the number field and the arithmetic site. Finally we construct
the square of the arithmetic site.